Dugaan Collatz: Soal yang Mudah Dipahami Anak SD, Belum Terpecahkan

Hampir semua soal matematika yang belum terpecahkan sulit bahkan untuk dijelaskan. Untuk memahami pertanyaannya saja, kadang diperlukan kuliah bertahun-tahun.

Ada satu pengecualian yang terkenal. Aturannya bisa diterangkan kepada anak kelas empat SD dalam waktu dua menit, dan anak itu langsung bisa mengerjakannya. Namanya dugaan Collatz. Sudah hampir sembilan puluh tahun, dan belum ada yang berhasil membuktikannya.

Aturan mainnya

Pilih sembarang bilangan bulat positif. Lalu ikuti dua aturan ini berulang-ulang:

Dengan kata lain, kalau bilangannya genap, bagi dua. Kalau ganjil, kalikan tiga lalu tambah satu. Ulangi terus terhadap hasil yang baru.

Dugaannya berbunyi: berapa pun bilangan yang dipilih, langkah ini pada akhirnya selalu sampai ke angka 1.

Mari dicoba

Ambil angka 6. Genap, jadi dibagi dua menjadi 3. Ganjil, jadi dikali tiga tambah satu menjadi 10. Begitu seterusnya:

Sekarang coba angka 7, yang hanya selisih satu dari angka sebelumnya:

Perhatikan perbedaannya. Angka 6 selesai dalam delapan langkah, sedangkan 7 butuh dua kali lipat lebih banyak dan sempat naik sampai 52. Tidak ada hubungan yang mudah antara besar bilangan awal dan panjang perjalanannya.

Angka 27 dan perjalanannya yang panjang

Kalau tadi terasa masih jinak, cobalah angka 27. Bilangan ini kecil, tetapi perjalanannya luar biasa panjang.

Dari 27, barisannya naik turun sebanyak 111 langkah sebelum akhirnya tiba di angka 1. Di tengah jalan, pada langkah ke-77, ia sempat melambung sampai 9.232, jauh meninggalkan titik awalnya.

Contoh yang lebih ekstrem ada pada bilangan 9.780.657.630, yang memerlukan 1.132 langkah.

Inilah yang membuat soal ini memikat sekaligus menjengkelkan. Barisannya berperilaku seperti sesuatu yang acak, padahal aturannya sepenuhnya pasti dan tidak mengandung unsur kebetulan apa pun.

Kenapa sulit dibuktikan

Pertanyaan yang wajar: kalau semua angka yang dicoba selalu sampai ke 1, bukankah itu sudah cukup?

Tidak. Membuktikan dalam matematika berarti menunjukkan sesuatu berlaku untuk semua bilangan, termasuk yang tidak akan pernah sempat kita coba. Karena bilangan bulat positif banyaknya tak terhingga, mencoba satu per satu tidak akan pernah selesai.

Ada dua kemungkinan yang harus disingkirkan oleh sebuah bukti. Pertama, adanya bilangan yang barisannya terus membesar tanpa pernah turun kembali. Kedua, adanya barisan yang terjebak dalam putaran tertutup yang tidak memuat angka 1.

Sampai sekarang tidak ada yang berhasil menunjukkan bahwa kedua hal itu mustahil.

Sumber kesulitannya ada pada tarik-menarik dua aturan tadi. Langkah bagi dua mengecilkan bilangan, langkah kali tiga tambah satu membesarkannya. Secara rata-rata, gabungan keduanya cenderung mengecil, sehingga masuk akal kalau semuanya berakhir di 1. Tetapi “cenderung” dan “selalu” adalah dua hal yang sangat berbeda, dan jarak di antara keduanya persis merupakan inti persoalannya.

Sejauh mana komputer sudah memeriksa

Komputer sudah memeriksa dugaan ini untuk semua bilangan hingga:

Artinya sekitar 295 miliar miliar bilangan, dan semuanya berakhir di angka 1.

Angka sebesar itu tetap tidak membuktikan apa pun. Bilangan bulat positif jumlahnya tak terhingga, dan tak terhingga tidak berkurang sedikit pun setelah dikurangi 295 miliar miliar. Contoh tandingan, kalau memang ada, bisa saja berada di wilayah yang belum tersentuh.

Hasil terdekat sejauh ini

Pada September 2019, matematikawan Terence Tao menerbitkan hasil yang dianggap kemajuan terbesar dalam sejarah soal ini. Secara sangat sederhana, ia menunjukkan bahwa hampir semua bilangan pada akhirnya turun ke nilai yang sangat kecil.

Terdengar seperti sudah selesai, tetapi tidak. Kata “hampir semua” di sini punya makna teknis khusus, dan tetap menyisakan kemungkinan adanya bilangan istimewa yang berperilaku lain. Tao sendiri menyatakan hasilnya tidak menjangkau dugaan utuhnya.

Satu soal, banyak nama

Soal ini diperkenalkan matematikawan Jerman Lothar Collatz pada 1937. Karena beberapa orang menemukannya secara terpisah, namanya bermacam-macam. Ada yang menyebutnya masalah 3n+1, dugaan Ulam, masalah Kakutani, dugaan Thwaites, atau masalah Syracuse.

Banyaknya nama itu sendiri menunjukkan sesuatu. Soal sesederhana ini memang mudah ditemukan sendiri oleh siapa pun yang gemar bermain dengan angka.

Sebuah peringatan yang bersahabat

Bagian ini perlu disampaikan dengan jujur.

Soal ini punya reputasi sebagai penyita waktu. Karena aturannya sederhana, banyak orang merasa jawabannya pasti ada di dekat sana, tinggal sedikit lagi. Banyak yang kemudian menghabiskan berbulan-bulan, bahkan bertahun-tahun, dan tidak sedikit yang merasa sudah menemukan bukti padahal argumennya mengandung celah yang sulit mereka lihat sendiri.

Seorang matematikawan besar pernah berkomentar bahwa ilmu matematika belum siap menghadapi soal semacam ini. Jadi kalau merasa menemukan buktinya, sikap paling sehat adalah mencari orang lain yang mau memeriksanya dengan kritis, bukan mencari orang yang setuju.

Namun bermain-main dengannya tetap bermanfaat, selama niatnya menikmati, bukan menaklukkan. Menelusuri barisan angka 27 dengan pensil dan kertas adalah latihan ketekunan yang baik, sekaligus cara menyenangkan untuk merasakan bagaimana pola bisa muncul dari aturan yang sangat sederhana.

Yang bisa kita ambil

Dugaan Collatz mengingatkan bahwa sederhana dan mudah adalah dua hal berbeda. Pertanyaan yang bisa dijelaskan dalam dua kalimat belum tentu punya jawaban yang bisa ditemukan dalam dua abad.

Ia juga menunjukkan jarak antara memeriksa dan membuktikan. Ratusan miliar miliar contoh yang cocok tetap bukan bukti, sementara satu contoh tandingan sudah cukup untuk menggugurkan segalanya. Cara berpikir seperti inilah yang membedakan matematika dari sekadar mengumpulkan pengamatan.