Aksioma: Titik Awal yang Disepakati, Bukan Dibuktikan

Coba tanyakan kepada diri sendiri: mengapa dua ditambah dua sama dengan empat? Mungkin kita bisa menjelaskannya. Lalu tanyakan lagi, mengapa penjelasan itu benar. Dan tanyakan sekali lagi pada jawaban berikutnya.

Kalau diteruskan, pertanyaan ini tidak pernah berhenti. Setiap jawaban selalu bisa ditanyai ulang. Matematika menyelesaikan masalah tersebut dengan cara yang jujur: ia menetapkan beberapa pernyataan awal, mengakui secara terbuka bahwa pernyataan itu tidak dibuktikan, lalu membangun segalanya di atasnya. Pernyataan awal itulah yang disebut aksioma.

Mengapa tidak semua hal bisa dibuktikan

Membuktikan berarti menurunkan sesuatu dari pernyataan yang sudah diterima lebih dulu. Artinya, sebelum ada pembuktian, harus sudah ada sesuatu yang diterima.

Kalau kita bersikeras bahwa semua hal wajib dibuktikan, hanya ada tiga kemungkinan. Pembuktian berjalan mundur tanpa henti, atau berputar-putar sehingga A dibuktikan oleh B dan B dibuktikan oleh A, atau berhenti di titik tertentu yang diterima tanpa bukti. Dua yang pertama tidak menghasilkan apa-apa. Matematika memilih yang ketiga, dan bersikap terbuka soal itu.

Jadi aksioma bukan kelemahan. Ia justru bentuk kejujuran sebuah sistem: inilah yang saya anggap benar sejak awal, silakan periksa sendiri.

Contoh tertua: lima postulat Euclid

Sekitar tahun 300 sebelum Masehi, Euclid menyusun kitab Elemen, salah satu buku paling berpengaruh dalam sejarah. Ia memulainya dengan lima pernyataan yang tidak dibuktikan:

1. Dari dua titik dapat ditarik satu garis lurus.
2. Ruas garis dapat diperpanjang terus-menerus.
3. Dengan sebuah titik pusat dan jarak tertentu dapat digambar sebuah lingkaran.
4. Semua sudut siku-siku sama besar.
5. Melalui sebuah titik di luar sebuah garis, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis itu.

Dari lima kalimat sederhana ini, Euclid menurunkan ratusan teorema geometri, termasuk yang kita pelajari di sekolah. Salah satu hasilnya yang paling terkenal adalah jumlah sudut dalam segitiga:

Postulat kelima yang mengganjal dua ribu tahun

Ada yang terasa janggal pada daftar itu. Empat postulat pertama pendek dan langsung terasa wajar. Postulat kelima lebih panjang dan terdengar seperti sesuatu yang semestinya bisa dibuktikan dari empat yang lain.

Selama kurang lebih dua ribu tahun, banyak matematikawan mencoba membuktikannya. Semua gagal. Beberapa mengira sudah berhasil, tetapi ternyata diam-diam memakai asumsi yang setara dengan postulat itu sendiri.

Ketika aksioma diganti, lahir dunia baru

Titik baliknya datang pada abad ke-19. Alih-alih membuktikan postulat kelima, beberapa matematikawan mencoba menggantinya, lalu melihat apa yang terjadi.

Nikolai Lobachevsky mempublikasikan hasilnya pada 1829 dan János Bolyai pada 1832, keduanya bekerja sendiri-sendiri. Mereka mengandaikan bahwa melalui satu titik dapat ditarik lebih dari satu garis sejajar. Yang muncul bukan kontradiksi, melainkan sistem geometri utuh yang konsisten, yang kini disebut geometri hiperbolik. Di sana:

Bernhard Riemann melangkah lebih jauh lewat kuliahnya pada 1854, dengan kemungkinan yang sebaliknya, yaitu tidak ada garis sejajar sama sekali. Hasilnya mirip geometri di permukaan bola, tempat “garis lurus” berwujud lingkaran besar seperti garis khatulistiwa. Di sana:

Ini bukan sekadar permainan pikiran. Jika kita menarik segitiga raksasa di permukaan bumi, jumlah sudutnya memang melebihi 180 derajat. Dan geometri Riemann inilah yang kemudian dipakai Einstein untuk merumuskan teori relativitas umum, yang hasil hitungannya dipakai setiap hari oleh sistem GPS di ponsel kita.

Pelajaran pentingnya: mengganti satu aksioma tidak merusak matematika. Ia membuka wilayah baru.

Kalau begitu, aksioma itu benar atau tidak?

Pertanyaan ini wajar muncul, dan jawabannya perlu hati-hati.

Di dalam matematika, aksioma tidak dinilai “benar” atau “salah” dalam arti sehari-hari. Ia dinilai dari apakah sistem yang dibangun di atasnya masuk akal. Syarat utamanya adalah konsisten, yaitu tidak melahirkan dua kesimpulan yang saling bertabrakan. Dua syarat lain yang disukai, meski tidak mutlak, adalah saling bebas, artinya tidak ada aksioma yang sebenarnya bisa diturunkan dari aksioma lain, dan sesedikit mungkin.

Soal benar atau salah baru muncul ketika kita bertanya, sistem mana yang cocok untuk menggambarkan situasi tertentu. Untuk mengukur tanah di kampung, geometri Euclid sudah sangat memadai. Untuk menghitung jalur penerbangan lintas benua atau orbit satelit, geometri bola jauh lebih tepat. Keduanya benar di wilayahnya masing-masing.

Aksioma di balik bilangan yang kita pakai

Bukan hanya geometri. Aturan berhitung yang kita anggap sudah semestinya pun berdiri di atas aksioma. Misalnya:

Kelihatannya terlalu jelas untuk perlu dituliskan. Tetapi justru karena dituliskan, kita jadi tahu kapan aturan itu berlaku dan kapan tidak.

Contohnya pada matriks, yaitu tabel bilangan yang dipakai dalam grafika komputer dan banyak bidang lain. Untuk matriks, urutan perkalian berpengaruh:

Bukan berarti matematika sedang bertentangan dengan dirinya. Yang terjadi, sistem matriks memang tidak memakai aksioma yang sama dengan bilangan biasa. Tanpa daftar aksioma yang jelas, hal semacam ini akan terasa membingungkan.

Batas yang ditemukan Gödel

Pada awal abad ke-20, banyak matematikawan berharap bisa menyusun satu daftar aksioma yang cukup untuk menjawab semua pertanyaan matematika.

Pada 1931, Kurt Gödel menunjukkan bahwa harapan itu tidak bisa dipenuhi. Secara sederhana, hasilnya berbunyi: untuk setiap sistem aksioma yang konsisten dan cukup kuat untuk memuat aritmetika biasa, selalu ada pernyataan yang tidak dapat dibuktikan maupun dibantah di dalam sistem itu sendiri.

Menambah aksioma baru memang bisa menyelesaikan pernyataan yang tadinya menggantung, tetapi selalu muncul pernyataan menggantung yang lain. Tidak ada daftar awal yang benar-benar tuntas.

Tiga salah paham yang sebaiknya dihindari

Bagian ini perlu ditegaskan, karena gagasan aksioma sering ditarik terlalu jauh.

Pertama, “disepakati” tidak sama dengan “asal pilih”. Sekumpulan aksioma yang melahirkan pertentangan langsung ditolak. Kebebasan memilih aksioma itu nyata, tetapi sempit dan berpagar aturan ketat.

Kedua, temuan Gödel tidak berarti matematika runtuh atau tidak dapat diandalkan. Teorema Pythagoras tetap berlaku, jembatan tetap berdiri, dan hitungan tetap akurat. Yang ditunjukkan Gödel adalah batas sebuah sistem formal, bukan kegagalan matematika.

Ketiga, hasil ini juga tidak bisa dipakai untuk menyimpulkan bahwa segala sesuatu bersifat relatif atau bahwa semua pendapat setara. Teorema Gödel berbicara tentang sistem formal dengan syarat yang sangat spesifik. Menariknya ke perdebatan umum di luar konteks itu adalah pelebaran makna yang tidak dibenarkan oleh isi teoremanya.

Yang bisa kita bawa pulang

Setiap bangunan pemikiran berdiri di atas titik awal. Bedanya, matematika menuliskan titik awalnya secara terbuka, memberinya nama, dan mempersilakan siapa pun memeriksanya.

Kebiasaan ini berguna di luar matematika. Ketika sebuah perdebatan berputar tanpa ujung, sering kali penyebabnya bukan salah satu pihak keliru berhitung, melainkan keduanya berangkat dari titik awal yang berbeda tanpa pernah menyebutkannya. Menanyakan “kita mulai dari anggapan apa” kadang lebih menolong daripada terus memperdebatkan kesimpulan.