Hari ini bilangan negatif terasa biasa saja. Suhu di bawah nol, saldo yang minus, lantai basement bertanda B1, semuanya kita pahami tanpa perlu berpikir panjang. Padahal untuk sampai ke titik ini, dunia matematika memerlukan waktu lebih dari seribu tahun. Selama berabad-abad, bilangan negatif dianggap tidak masuk akal, bahkan ditolak oleh sebagian matematikawan terkemuka.
Diterima Lebih Dulu di Timur
Jejak paling awal pemakaian bilangan negatif terdapat dalam tradisi matematika Tiongkok. Dalam naskah klasik Sembilan Bab tentang Seni Matematika, yang disusun sekitar dua ribu tahun lalu, perhitungan dilakukan dengan batang-batang hitung di atas papan. Untuk membedakan dua jenis besaran yang berlawanan, digunakan batang dengan warna berbeda. Keterangan yang umum disebutkan, batang merah mewakili besaran positif dan batang hitam mewakili besaran negatif.
Pendekatan ini lahir dari kebutuhan praktis, terutama urusan dagang dan pembukuan. Pemasukan dan pengeluaran adalah dua hal berlawanan yang sama-sama nyata, sehingga wajar bila keduanya diberi lambang yang berbeda. Menariknya, bilangan negatif di sini dipakai sebagai alat hitung antara, bukan sebagai jawaban akhir.
Brahmagupta dan Gagasan Harta serta Utang
Langkah besar berikutnya datang dari India. Pada tahun 628 Masehi, Brahmagupta menuliskan aturan lengkap perhitungan bilangan negatif dalam karyanya. Ia menyebut bilangan positif sebagai harta dan bilangan negatif sebagai utang, lalu merumuskan cara menjumlah, mengurang, mengali, dan membaginya.
Gagasan ini terobosan besar, sebab untuk pertama kalinya bilangan negatif diperlakukan sebagai bilangan yang sah, bukan sekadar tanda bantu. Aturan yang ia tuliskan pada dasarnya sama dengan yang diajarkan di sekolah sampai sekarang:
| Bahasa Brahmagupta | Notasi sekarang |
|---|---|
| Harta dikurangi nol tetap harta | \(a – 0 = a\) |
| Utang dikurangi nol tetap utang | \(-a – 0 = -a\) |
| Harta dikali utang menghasilkan utang | \(a \times (-b) = -ab\) |
| Utang dikali utang menghasilkan harta | \((-a) \times (-b) = ab\) |
Mengapa Barat Sulit Menerimanya
Di dunia Yunani kuno, matematika dibangun di atas geometri. Bilangan dipahami sebagai panjang, luas, atau volume. Dalam kerangka seperti itu, bilangan negatif memang mustahil, sebab tidak ada garis yang panjangnya kurang dari nol.
Diophantus, matematikawan Aleksandria pada abad ketiga, menyebut persamaan yang penyelesaiannya berupa bilangan negatif sebagai sesuatu yang tidak masuk akal. Bukan karena ia tidak bisa menghitungnya, melainkan karena hasil itu tidak punya padanan dalam kenyataan menurut cara pandang yang ia pakai.
Di dunia Islam, sikapnya bercampur. Al-Khwarizmi pada abad kesembilan menyusun bentuk-bentuk baku persamaan sedemikian rupa sehingga bilangan negatif tidak perlu muncul. Namun dalam tulisannya mengenai pembagian warisan, besaran negatif dipakai untuk menyatakan utang. Jadi secara praktis diterima, tetapi secara teori dihindari.
Julukan yang Diberikan di Eropa
Sikap ragu-ragu itu terbawa lama sekali di Eropa, dan terlihat jelas dari sebutan yang diberikan kepada bilangan negatif.
Abad ke-15, Nicolas Chuquet: bilangan absurd
Abad ke-16, Michael Stifel: bilangan absurd
Abad ke-16, Gerolamo Cardano: bilangan fiktif
Abad ke-17, René Descartes: akar palsu
Abad ke-17, John Napier: bilangan cacat
Dalam praktik perdagangan, penerimaannya justru lebih cepat. Luca Pacioli, yang bukunya pada 1494 menjadi dasar pembukuan berpasangan, memakai bilangan negatif untuk mencatat utang tanpa banyak perdebatan. Pedagang membutuhkan alat yang bekerja; soal apakah bilangan itu “ada” atau tidak bukan urusan mereka.
Titik balik penting datang dari gagasan garis bilangan. John Wallis pada abad ketujuh belas menjelaskan bilangan negatif sebagai jarak ke arah berlawanan dari titik nol. Sejak itu, bilangan negatif punya gambaran yang bisa dibayangkan: bukan jumlah benda, melainkan arah.
Batu Sandungannya: Minus Kali Minus
Yang paling lama mengganjal adalah aturan bahwa bilangan negatif dikali bilangan negatif menghasilkan bilangan positif. Secara perasaan, aturan ini memang aneh. Bagaimana dua hal yang sama-sama “kurang” bisa menghasilkan sesuatu yang “lebih”?
Jawabannya tidak datang dari contoh benda, melainkan dari keharusan menjaga agar aturan hitung tetap taat asas. Perhatikan langkah berikut. Mulai dari kenyataan bahwa \((-1) + 1 = 0\), lalu kalikan kedua ruas dengan \(-1\):
Bila sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan tetap dipertahankan, ruas kiri dapat diuraikan menjadi:
Dari situ diperoleh \((-1) \times (-1) = 1\). Jadi aturan itu bukan kesepakatan sembarangan. Bila hasilnya ditetapkan lain, seluruh bangunan aljabar akan runtuh oleh pertentangan di dalam dirinya sendiri.
Penolakan yang Bertahan sampai Abad ke-18
Meski demikian, perlawanan belum berhenti. Pada pertengahan abad kedelapan belas, Francis Maseres di Inggris masih berpendapat bahwa bilangan negatif hanya mengaburkan teori persamaan dan merumitkan hal yang sebenarnya sederhana. Rekan sezamannya, William Frend, menerbitkan buku aljabar pada 1796 yang menolak pemakaian bilangan negatif.
Keberatan mereka bukan karena tidak mampu berhitung, melainkan karena menuntut sesuatu yang belum tersedia pada masa itu, yaitu penjelasan yang kokoh mengenai apa sebenarnya bilangan negatif itu. Selama pembenarannya hanya berupa perumpamaan utang atau arah, mereka menganggapnya belum cukup.
Jawaban yang mereka tunggu baru muncul pada abad kesembilan belas, ketika matematikawan seperti George Peacock dan Augustus De Morgan mengubah cara memandang bilangan. Bilangan tidak lagi didefinisikan sebagai banyaknya benda, melainkan sebagai unsur dalam sebuah sistem yang tunduk pada aturan tertentu. Begitu sudut pandangnya bergeser, bilangan negatif menjadi sah dengan sendirinya, tanpa perlu ditunjukkan wujud bendanya.
Apa yang Bisa Dipetik
Kisah ini menyisakan pelajaran yang melampaui matematika. Selama ribuan tahun, sesuatu ditolak bukan karena salah, melainkan karena belum ada cara memahaminya. Yang dibutuhkan bukan bukti tambahan, melainkan kerangka berpikir yang baru.
Pola serupa berulang pada gagasan lain, misalnya bilangan imajiner yang dulu juga dianggap khayalan belaka, tetapi kini menjadi alat pokok dalam ilmu kelistrikan dan pengolahan sinyal. Ada baiknya kita mengingat hal ini ketika mengajar anak yang kebingungan memahami minus kali minus. Kebingungannya wajar. Para matematikawan besar pun memerlukan waktu berabad-abad untuk melewatinya.