Di antara bilangan yang tak terhingga banyaknya, ada segelintir yang memiliki sifat istimewa: nilainya persis sama dengan jumlah seluruh pembaginya. Bilangan semacam ini disebut bilangan sempurna. Sudah lebih dari dua ribu tahun manusia mencarinya, dan sampai hari ini yang berhasil ditemukan baru 52 buah.
Apa Sebenarnya Bilangan Sempurna
Definisinya cukup sederhana. Sebuah bilangan asli disebut sempurna apabila jumlah seluruh pembaginya, selain dirinya sendiri, sama dengan bilangan itu.
Ambil bilangan 6. Pembaginya adalah 1, 2, 3, dan 6. Kita sisihkan angka 6, lalu jumlahkan sisanya:
Sekarang bilangan 28. Pembaginya adalah 1, 2, 4, 7, 14, dan 28. Kembali kita sisihkan 28:
Silakan coba pada bilangan lain seperti 10, 12, atau 20. Hasilnya tidak akan pernah pas. Itulah yang membuat sifat ini langka.
Empat Bilangan dan Kebuntuan Selama Berabad-abad
Bilangan sempurna berikutnya adalah 496 dan 8.128.
Keempat bilangan ini sudah dikenal para matematikawan Yunani kuno. Yang menarik, setelah itu tidak ada tambahan sama sekali selama kurang lebih lima belas abad. Bilangan sempurna kelima, yaitu 33.550.336, baru tercatat dalam sebuah naskah pada abad ke-15.
Lompatan dari 8.128 ke 33 juta lebih itu memberi petunjuk awal tentang mengapa pencarian ini begitu sulit.
Resep yang Ditemukan Euclid
Sekitar tahun 300 sebelum Masehi, Euclid menemukan pola yang menghubungkan bilangan sempurna dengan bilangan prima. Ia membuktikan bahwa jika \(2^p – 1\) merupakan bilangan prima, maka bilangan berikut pasti sempurna:
Mari kita uji dengan beberapa nilai \(p\).
| \(p\) | \(2^p – 1\) | Prima? | Hasil \(N\) |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | Ya | \(2 \times 3 = 6\) |
| 3 | 7 | Ya | \(4 \times 7 = 28\) |
| 5 | 31 | Ya | \(16 \times 31 = 496\) |
| 7 | 127 | Ya | \(64 \times 127 = 8.128\) |
| 13 | 8.191 | Ya | \(4.096 \times 8.191 = 33.550.336\) |
Rumus ini bekerja dengan rapi. Namun Euclid hanya membuktikan satu arah: bahwa rumus tersebut menghasilkan bilangan sempurna. Ia belum membuktikan bahwa tidak ada bilangan sempurna lain di luar rumus itu.
Euler Menutup Pertanyaan yang Menggantung Dua Ribu Tahun
Pertanyaan itu baru terjawab oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Ia membuktikan bahwa setiap bilangan sempurna genap wajib berbentuk seperti rumus Euclid, tanpa kecuali. Naskah pembuktiannya sendiri baru diterbitkan pada tahun 1849, puluhan tahun setelah Euler wafat. Hasil gabungan kedua tokoh ini sekarang dikenal sebagai teorema Euclid-Euler.
Akibatnya, mencari bilangan sempurna genap sama persis dengan mencari bilangan prima berbentuk \(2^p – 1\). Satu prima seperti itu menghasilkan satu bilangan sempurna. Tidak lebih, tidak kurang.
Bilangan prima berbentuk \(2^p – 1\) disebut prima Mersenne, mengikuti nama Marin Mersenne, seorang rahib Prancis abad ke-17 yang menyusun daftar dugaan mengenai nilai \(p\) mana saja yang menghasilkan bilangan prima.
Inilah Sebabnya Jumlahnya Sedikit
Sekarang pertanyaannya berpindah: mengapa prima Mersenne begitu langka?
Syarat pertama, \(p\) sendiri harus bilangan prima. Kalau \(p\) tersusun dari faktor lain, \(2^p – 1\) pasti bisa difaktorkan. Contohnya \(2^4 – 1 = 15 = 3 \times 5\).
Tetapi syarat itu belum cukup. Banyak \(p\) yang prima justru gagal menghasilkan bilangan prima. Contoh paling terkenal:
Padahal 11 adalah bilangan prima. Kegagalan seperti ini jauh lebih sering terjadi daripada keberhasilannya.
Ditambah lagi, nilai \(2^p – 1\) membesar dengan sangat cepat. Setiap kenaikan satu pada \(p\) melipatgandakan hasilnya. Ketika \(p\) sudah mencapai angka jutaan, bilangan yang harus diperiksa memiliki jutaan digit, dan memeriksa satu kandidat saja bisa memakan waktu berhari-hari pada komputer modern.
Perburuan yang Masih Berjalan Hari Ini
Sejak tahun 1996 berjalan sebuah proyek bernama GIMPS, singkatan dari Great Internet Mersenne Prime Search. Ribuan sukarelawan di seluruh dunia meminjamkan waktu luang komputer mereka untuk memeriksa kandidat satu per satu.
Sampai saat artikel ini ditulis, tercatat 52 prima Mersenne yang diketahui, sehingga jumlah bilangan sempurna yang diketahui juga 52. Yang terbesar berasal dari:
Bilangan prima ini memiliki 41.024.320 digit dan ditemukan pada 12 Oktober 2024 oleh Luke Durant. Bilangan sempurna yang dihasilkannya memiliki sekitar 82 juta digit. Kalau dicetak dengan ukuran huruf biasa, hasilnya akan memenuhi puluhan ribu halaman.
Jarak antara satu penemuan dan penemuan berikutnya sering mencapai beberapa tahun. Penemuan sebelum yang terakhir terjadi pada tahun 2018.
Teka-teki yang Belum Terpecahkan
Ada satu hal yang perlu diperhatikan dari penjelasan di atas. Teorema Euler hanya berlaku untuk bilangan sempurna genap. Bagaimana dengan yang ganjil?
Sampai hari ini tidak ada satu pun bilangan sempurna ganjil yang pernah ditemukan. Tetapi tidak ada pula bukti bahwa bilangan semacam itu mustahil ada. Pertanyaan ini termasuk salah satu masalah terbuka tertua dalam matematika, sudah menggantung sejak zaman Yunani kuno.
Yang berhasil dibuktikan hanyalah batasan-batasannya. Kalau bilangan sempurna ganjil benar-benar ada, nilainya harus melebihi \(10^{1500}\) dan memiliki sedikitnya sepuluh faktor prima yang berbeda, di samping sejumlah syarat ketat lainnya. Semakin lama dicari, semakin sempit ruang yang tersisa, tetapi ruang itu belum pernah tertutup sepenuhnya.
Beberapa Sifat Menarik Lainnya
Semua bilangan sempurna yang sudah ditemukan memiliki beberapa kesamaan yang unik.
- Seluruhnya berakhiran angka 6 atau angka 8.
- Seluruhnya merupakan bilangan segitiga, yaitu bilangan yang dapat disusun menjadi tumpukan berbentuk segitiga. Contohnya \(6 = 1+2+3\) dan \(28 = 1+2+3+4+5+6+7\).
Bilangan sempurna juga punya kerabat. Bilangan yang jumlah pembaginya lebih besar dari dirinya disebut bilangan berlebih, misalnya 12 karena \(1+2+3+4+6 = 16\). Yang lebih kecil disebut bilangan kurang, misalnya 8 karena \(1+2+4 = 7\).
Ada pula pasangan bilangan bersahabat, yaitu dua bilangan yang jumlah pembagi masing-masing menghasilkan pasangannya. Pasangan terkecil adalah 220 dan 284.
Mengapa Hal Ini Dipelajari
Pencarian bilangan sempurna dan prima Mersenne sering dianggap kegiatan tanpa manfaat praktis. Pandangan itu tidak sepenuhnya tepat.
Perangkat lunak yang dipakai dalam pencarian ini menuntut perhitungan bilangan besar yang sangat teliti, dan kebutuhan tersebut ikut mendorong penyempurnaan penerapan algoritma perkalian cepat yang juga dipakai di bidang lain. Program pencarian prima juga beberapa kali berperan menemukan kesalahan perhitungan pada prosesor komputer yang lolos dari pengujian pabrik.
Di luar itu, ada nilai yang lebih sederhana. Sebuah pertanyaan yang bisa dipahami anak sekolah dasar, yaitu apakah ada bilangan ganjil yang sama dengan jumlah pembaginya, ternyata mampu bertahan dua ribu tahun tanpa jawaban. Matematika menyimpan banyak pertanyaan seperti itu, dan justru di situlah daya tariknya.
Catatan: Jumlah 52 prima Mersenne dan bilangan sempurna yang diketahui adalah keadaan pada saat artikel ini disusun. Angka tersebut dapat bertambah sewaktu-waktu apabila proyek pencarian menemukan yang baru. Pembaca dapat memeriksa keadaan terkini di situs resmi proyek GIMPS di mersenne.org.
Perlu dicatat pula bahwa sejak zaman kuno bilangan sempurna kerap dikaitkan dengan berbagai makna di luar matematika oleh bermacam tradisi. Kaitan semacam itu berada di luar cakupan pembahasan ini, yang sepenuhnya membahas sifat matematis bilangan tersebut.
Rujukan: Great Internet Mersenne Prime Search, mersenne.org; O’Connor, J. J. dan Robertson, E. F., Perfect Numbers, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews; Ochem, P. dan Rao, M. (2012), Mathematics of Computation, mengenai batas bawah bilangan sempurna ganjil; Nielsen, P. P. (2015), Mathematics of Computation, mengenai jumlah minimum faktor prima berbeda.