Dalam statistika, sering kali kita tidak hanya ingin tahu berapa nilai rata-rata sebuah kumpulan data, tetapi juga bagaimana data itu tersebar dan di posisi mana sebuah nilai berada. Salah satu alat yang dipakai untuk keperluan itu adalah desil. Tulisan ini membahas desil dari sisi matematika murni, lengkap dengan cara menghitungnya, serta menyinggung sekilas ukuran statistik lain yang berkaitan.
Apa Itu Desil?
Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang sudah diurutkan menjadi sepuluh bagian sama banyak. Karena membaginya menjadi sepuluh bagian, dibutuhkan sembilan titik pembatas, yaitu \(D_1\) sampai \(D_9\).
Perhatikan bahwa desil adalah batas, bukan kelompok. \(D_1\) misalnya, adalah nilai yang membuat sepuluh persen data berada di bawahnya dan sembilan puluh persen sisanya di atasnya. Kesalahpahaman yang umum terjadi adalah menganggap desil sebagai peringkat mutlak, padahal desil selalu bersifat relatif terhadap kumpulan data yang sedang dianalisis. Data yang berbeda akan menghasilkan nilai desil yang berbeda pula.
Desil termasuk kelompok ukuran yang disebut kuantil, yaitu nilai pembagi data terurut:
Kuartil membagi data menjadi 4 bagian (\(Q_1, Q_2, Q_3\))
Desil membagi data menjadi 10 bagian (\(D_1\) sampai \(D_9\))
Persentil membagi data menjadi 100 bagian (\(P_1\) sampai \(P_{99}\))
Menentukan Letak Desil
Untuk data tunggal yang sudah diurutkan dari kecil ke besar, letak desil ke-\(i\) dihitung dengan rumus:
dengan \(i\) adalah nomor desil (1 sampai 9) dan \(n\) adalah banyaknya data. Hasil rumus ini bukan nilai desilnya, melainkan posisi desil pada barisan data. Jika hasilnya bilangan bulat, nilai desil langsung diambil dari data pada posisi tersebut. Jika hasilnya mengandung pecahan, dilakukan interpolasi:
dengan \(k\) bagian bulat dari posisi, \(d\) bagian desimalnya, serta \(x_k\) dan \(x_{k+1}\) adalah dua nilai data yang mengapit posisi tersebut.
Contoh Perhitungan
Misalkan nilai ujian dari 20 peserta sudah diurutkan sebagai berikut:
Di sini \(n = 20\), sehingga \(n + 1 = 21\).
Desil ke-3. Letaknya:
Posisi 6,3 berada antara data ke-6 (yaitu 65) dan data ke-7 (yaitu 67), sehingga:
Desil ke-5. Letaknya:
Desil ke-9. Letaknya \( \frac{9 \times 21}{10} = 18{,}9 \), berada antara data ke-18 (85) dan ke-19 (88):
Artinya, sekitar sepuluh persen peserta memperoleh nilai di atas 87,7, dan sekitar tiga puluh persen berada di bawah 65,6.
Hubungan Desil dengan Median dan Kuartil
Ada satu hal menarik dari contoh di atas. Nilai \(D_5 = 71{,}5\) ternyata sama persis dengan median data tersebut, karena median dari 20 data adalah rata-rata data ke-10 dan ke-11, yaitu \((71 + 72)/2 = 71{,}5\). Hal ini bukan kebetulan, melainkan berlaku umum:
Ketiganya menunjuk titik yang sama, yaitu nilai tengah data. Hubungan serupa juga berlaku untuk kuantil lain, misalnya \(D_2 = P_{20}\) dan \(D_8 = P_{80}\). Semuanya hanyalah cara berbeda untuk menyatakan posisi relatif yang sama.
Desil pada Data Berkelompok
Bila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, desil dihitung dengan rumus interpolasi kelas:
Keterangan simbol:
| Simbol | Arti |
|---|---|
| \(L\) | Tepi bawah kelas tempat desil berada |
| \(n\) | Jumlah seluruh frekuensi |
| \(F\) | Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil |
| \(f\) | Frekuensi kelas desil |
| \(c\) | Panjang interval kelas |
Sekilas Ukuran Statistik Lainnya
Desil hanyalah satu dari sekian ukuran yang dipakai untuk meringkas data. Secara garis besar, ukuran statistik dasar dapat dikelompokkan menjadi tiga:
| Kelompok | Contoh ukuran | Yang digambarkan |
|---|---|---|
| Ukuran pemusatan | Rata-rata (mean), median, modus | Nilai yang mewakili kecenderungan umum data |
| Ukuran letak | Kuartil, desil, persentil | Posisi suatu nilai relatif terhadap data lainnya |
| Ukuran penyebaran | Jangkauan, simpangan baku, ragam | Seberapa jauh data tersebar dari pusatnya |
Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh nilai lalu membaginya dengan banyaknya data:
Sedangkan simpangan baku mengukur rata-rata jarak data terhadap nilai rata-ratanya:
Ukuran letak seperti desil memiliki satu keunggulan dibanding rata-rata: hasilnya tidak mudah tergeser oleh nilai ekstrem. Bila dalam contoh nilai ujian tadi ada satu peserta yang memperoleh angka jauh di atas yang lain, rata-rata akan langsung terdorong naik, sementara median dan desil tengah hampir tidak berubah. Itulah sebabnya ukuran letak sering dipakai bersama-sama dengan rata-rata, bukan menggantikannya.
Hal yang Perlu Diperhatikan
Beberapa catatan agar penggunaan desil tepat sasaran:
| Catatan | Penjelasan |
|---|---|
| Data harus diurutkan lebih dulu | Rumus letak desil hanya berlaku pada data yang sudah tersusun dari kecil ke besar |
| Kurang bermakna pada data sedikit | Membagi 8 data menjadi sepuluh bagian tidak memberi informasi berarti |
| Terdapat beberapa versi rumus | Sebagian buku memakai \(i\,n/10\), sebagian \(i(n+1)/10\); hasilnya bisa sedikit berbeda, karena itu metode yang dipakai sebaiknya disebutkan |
| Bersifat relatif | Nilai desil selalu terikat pada kumpulan data yang dianalisis, sehingga tidak bisa dibandingkan begitu saja antardata yang berbeda |
Dengan memahami desil, membaca sajian data menjadi lebih utuh. Rata-rata memberi tahu kecenderungan umum, simpangan baku memberi tahu seberapa lebar sebarannya, dan desil menunjukkan di posisi mana sebuah nilai berada di antara nilai-nilai lainnya.