Persamaan kuadrat sering diselesaikan dengan rumus abc, tetapi metode melengkapkan kuadrat sempurna menunjukkan dari mana rumus itu berasal. Pada artikel ini kita menyelesaikan satu soal langkah demi langkah, seperti di buku teks.
Soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \[ x^2 – 6x + 5 = 0. \]
Penyelesaian
Langkah 1 — Pindahkan konstanta ke ruas kanan
Kita ingin ruas kiri hanya memuat suku yang mengandung \( x \). Kurangkan kedua ruas dengan 5:
\[ x^2 – 6x = -5 \]Langkah 2 — Lengkapkan kuadrat sempurna
Koefisien \( x \) adalah \( -6 \). Setengahnya adalah \( -3 \), dan kuadratnya \( (-3)^2 = 9 \). Tambahkan 9 ke kedua ruas agar ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:
\[ x^2 – 6x + 9 = -5 + 9 \]Langkah 3 — Tulis sebagai kuadrat binomial
Ruas kiri kini berbentuk \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \) dengan \( a = x \) dan \( b = 3 \):
\[ (x – 3)^2 = 4 \]Langkah 4 — Tarik akar kedua ruas
Ingat bahwa \( \sqrt{u^2} = |u| \), sehingga muncul dua kemungkinan tanda:
\[ x – 3 = \pm 2 \]Langkah 5 — Selesaikan kedua kasus
\[ x = 3 + 2 = 5 \qquad \text{atau} \qquad x = 3 – 2 = 1 \]Pemeriksaan
Substitusikan kembali ke persamaan awal:
\[ 5^2 – 6\cdot 5 + 5 = 25 – 30 + 5 = 0 \quad\checkmark \] \[ 1^2 – 6\cdot 1 + 5 = 1 – 6 + 5 = 0 \quad\checkmark \]Kesimpulan
Himpunan penyelesaiannya adalah \[ \{\, 1,\ 5 \,\}. \]
Metode yang sama, jika diterapkan pada bentuk umum \( ax^2 + bx + c = 0 \), menghasilkan rumus abc:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]Itulah sebabnya melengkapkan kuadrat sempurna disebut “induk” dari rumus abc.